Шаблоны заданий

В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, BC = 6. Найдите радиус описанной окружности.

Даны векторы a(3; −4) и b(−1; 2). Найдите скалярное произведение a · b.

Объём куба равен 8. Найдите площадь его поверхности.

В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков.

Вероятность того, что новый чайник прослужит больше года, равна 0.97. Вероятность, что он прослужит больше двух лет, равна 0.89. Найдите вероятность, что чайник прослужит меньше двух лет, при условии, что прослужил больше года.

Найдите корень уравнения log₂(x − 5) = 3.

Найдите значение выражения 9^{log₃ 4}.

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы длиной 400 м за 30 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

На рисунке изображён график функции y = f(x). Прямая, проходящая через точку (−2; 1), является касательной к этому графику. Найдите f′(−2).

Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t) = t³ − 4t² + 7t (метры, секунды). Найдите её скорость в момент времени t = 3 с.

На рисунке изображён график функции f(x) = a·x² + bx + c. Найдите значение f(5).

Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 3x + 4 на отрезке [0; 2].

а) Решите уравнение 2sin²x + √3·sin 2x = 3·cos²x. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π; π/2].

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 4, боковое ребро равно 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через ребро AB и середину ребра SC. б) Найдите площадь этого сечения.

Решите неравенство log_{x²+x}(x²−2x+1) ≥ 1.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 300 000 рублей. Условия возврата: каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года; в феврале – июне нужно выплатить часть долга. На сколько процентов r увеличивается долг, если кредит можно полностью погасить за 4 года равными ежегодными выплатами по 100 000 рублей?

Окружность с центром O вписана в угол, равный 60°. Касательная к окружности пересекает стороны угла в точках A и B. Найдите радиус окружности, если AB = 8, OA = 5.

Найдите все значения параметра a, при которых система { x² + y² = a² { |x| + |y| = 1 имеет ровно четыре решения.

На доске написано 30 различных натуральных чисел. Сумма любых пяти из них больше 100. Найдите наименьшее возможное значение суммы всех чисел.

На рисунке схема дорог. По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении. Сколько существует различных путей из города A в город L?

Значение арифметического выражения 49^7 + 7^14 − 7 записали в системе счисления с основанием 7. Сколько цифр 6 содержится в этой записи?

В файле содержится последовательность натуральных чисел. Каждое число не превышает 1000. Определите количество пар элементов, разность которых делится на 5.

Дана последовательность из N целых чисел. Найдите максимальную сумму подпоследовательности подряд идущих элементов длиной не менее 3.

Найдите корни уравнения x² − 7x + 10 = 0. В ответ запишите больший корень.

Из пункта A в пункт B, расстояние между которыми 75 км, выехал велосипедист. Через час навстречу ему из B выехал второй. Найдите скорость первого, если они встретились на середине пути, а скорость второго на 5 км/ч больше.